PERÍODO III

Plan de Mejoramiento  3° Periodo

CONTENIDO

Poliedros

• Áreas y volúmenes de poliedros.

ü Cilindros

ü Esferas

ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA

VOLUMEN DE UNA ESFERA - EJERCICIOS RESUELTOS

VOLUMEN DE UNA ESFERA Y TALLER ACUMULATIVA (EJERCICIOS)

ACUMULATIVA GEOMETRÍA III P: Volumen de la esfera 

Fecha de entrega: viernes 29 de agosto de 2025 a primera hora

Entregar a: Barreto Martinez Dilan (G 702); Castellanos Laiseca Dana (G 703).

Área y Volumen de una Cilindro – Fórmulas y Ejercicios

El área superficial de un cilindro representa la suma de las áreas de sus caras y es una medida bidimensional. Por otro lado, el volumen es una medida del espacio tridimensional ocupado por el cilindro. Podemos calcular el área superficial de un cilindro usando la fórmula A=2πr(r+h) y podemos calcular su volumen usando la fórmula V=πr²h, en donde r es el radio y h es la altura del cilindro.

A continuación, aprenderemos sobre el área superficial y el volumen de un cilindro. Conoceremos las diferentes fórmulas que podemos usar para calcular estas medidas y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios.

¿Cómo calcular el área superficial de un cilindro?

Para calcular el área superficial de un cilindro, tenemos que sumar las áreas de todas las caras del cilindro. Entonces, podemos usar las siguientes fórmulas:

en donde, r es la longitud del radio y h es la altura del cilindro.

Demostración de la fórmula del área superficial de un cilindro

Para demostrar la fórmula del área superficial de un cilindro, consideramos que el área total de un cilindro está compuesta de las siguientes partes:

• Área de las bases
• Área de la superficie curvada

Área de las bases del cilindro

El cilindro tiene dos bases circulares, por lo que podemos calcular su área usando la fórmula del área de un círculo. Dado que tenemos dos bases circulares, multiplicamos a la fórmula del área de un círculo por 2:

 Aˊreabases​=2πr2

Área de la superficie curva del cilindro

El área de la superficie lateral puede ser calculada usando el diagrama mostrado abajo. Si es que estiramos esta superficie, formamos un rectángulo con una altura de h y una base que es igual a la circunferencia de las bases circulares, es decir, 2πr.

Entonces, podemos encontrar esta área con la siguiente fórmula:

${\acute{\text{A}}\text{rea}}_{\text{lateral}}=2\pi rh$

Área superficial total del cilindro

Para encontrar el área superficial total del cilindro, tenemos que sumar el área de las bases circulares y el área de la superficie lateral:

$A_s=2\pi r^2+2\pi rh$

o

$A_s=2\pi r(r+h)$

¿Cómo calcular el volumen de un cilindro?

Podemos calcular el volumen de un cilindro al multiplicar al área de la base por su altura:

Volumen = Base × Altura

Dado que las bases de un cilindro son circulares, el área de la base es igual a πr², en donde r es el radio. Entonces, la fórmula del volumen de un cilindro es:

en donde, r es la longitud del radio del cilindro y h es la longitud de su altura.

Calcular el volumen de un cilindro usando el diámetro

Para calcular el volumen de un cilindro usando el diámetro, podemos usar dos métodos diferentes. El primer método consiste en dividir el diámetro por 2 para obtener la longitud del radio y aplicar la fórmula del volumen indicada arriba.

Alternativamente, podemos encontrar una fórmula para el volumen de un cilindro en términos del diámetro al sustituir la expresión r=d/2:

$V=\pi r^2\times h$

$V=\pi {(\frac{d}{2})}^2\times h$

$V=\pi \frac{d^2}{4}\times h$

en donde, d es la longitud del diámetro.

Área y volumen de un cilindro – Ejercicios resueltos

Las fórmulas del área superficial y del volumen de un cilindro son usadas para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra el área superficial de un cilindro que tiene un radio de 5 cm y una altura de 8 cm.

Solución

Tenemos las siguientes longitudes:

• Radio, $r=5$
• Altura, $h=8$

Usando estas longitudes en la fórmula del área superficial, tenemos:

$A_s=2\pi r(r+h)$

$A_s=2\pi (5)(5+8)$

$A_s=2\pi (5)(13)$

$A_s=408.4$

El área superficial es igual a 408.4 cm².

EJERCICIO 2

Encuentra el volumen de un cilindro que tiene un radio de 5 mm y una altura de 10 mm.

Solución

Tenemos lo siguiente:

• Radio, $r=5$
• Altura, $h=10$

Aplicando la fórmula del volumen con las longitudes dadas, tenemos:

$V=\pi r^2\times h$

$V=\pi {(5)}^2\times 10$

$V=\pi (25)\times 10$

$V=785.4$

El volumen es igual a 785.4 mm³.

EJERCICIO 3

¿Cuál es el área superficial de un cilindro que tiene una altura de 7 m y un radio de 6 m?

Solución

Tenemos lo siguiente:

• Radio, $r=6$
• Altura, $h=7$

Usando estos valores en la fórmula del área superficial, tenemos:

$A_s=2\pi r(r+h)$

$A_s=2\pi (6)(6+7)$

$A_s=2\pi (6)(13)$

$A_s=490.1$

El área superficial es igual a 490.1 m².

EJERCICIO 4

Calcula el volumen de un cilindro que tiene un radio de 6 cm y una altura de 8 cm.

Solución

Tenemos las siguientes longitudes:

• Radio, $r=6$
• Altura, $h=8$

Usando la fórmula del volumen con estas longitudes, tenemos:

$V=\pi r^2\times h$

$V=\pi {(6)}^2\times 8$

$V=\pi (36)\times 8$

$V=904.8$

El volumen es igual a 904.8 cm³.

EJERCICIO 5

¿Cuál es el área superficial de un cilindro que tiene una altura de 12 mm y un radio de 8 mm?

Solución

Tenemos las siguientes longitudes:

• Radio, $r=8$
• Altura, $h=12$

Usando la fórmula del área superficial, tenemos:

$A_s=2\pi r(r+h)$

$A_s=2\pi (8)(8+12)$

$A_s=2\pi (8)(20)$

$A_s=1005.3$

El área superficial es igual a 1005.3 mm².

EJERCICIO 6

Encuentra el volumen de un cubo que tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 12 cm.

Solución

Tenemos las siguientes longitudes:

• Diámetro, $d=8$
• Altura, $h=12$

En este caso, tenemos la longitud del diámetro, por lo que usamos la fórmula del volumen en términos del diámetro del cilindro:

$V=\pi (\frac{d^2}{4})\times h$

$V=\pi (\frac{{(8)}^2}{4})\times 12$

$V=\pi (\frac{64}{4})\times 12$

$V=\pi (16)\times 12$

$V=603.2$

El volumen es igual a 603.2 cm³.

EJERCICIO 7

¿Cuál es el área superficial de un cilindro que tiene un diámetro de 6 mm y una altura de 7 mm?

Solución

Dado que tenemos la longitud del diámetro simplemente podemos dividir al diámetro por 2 para obtener el radio del cilindro. Entonces, tenemos:

• Radio, $r=3$
• Altura, $h=7$

Aplicando la fórmula del área superficial, tenemos:

$A_s=2\pi r(r+h)$

$A_s=2\pi (3)(3+7)$

$A_s=2\pi (3)(10)$

$A_s=188.5$

El área superficial es igual a 188.5 mm².

EJERCICIO 8

Encuentra el volumen de un cilindro que tiene un diámetro de 12 m y una altura de 11 m.

Solución

Tenemos lo siguiente:

• Diámetro, $d=12$
• Altura, $h=11$

Usando la fórmula del volumen en términos del diámetro, tenemos:

$V=\pi (\frac{d^2}{4})\times h$

$V=\pi (\frac{{(12)}^2}{4})\times 11$

$V=\pi (\frac{144}{4})\times 11$

$V=\pi (36)\times 11$

$V=1244.1$

El volumen es igual a 1244.1 m³.

EJERCICIO 9

Encuentra el área superficial de un cilindro que tiene un diámetro de 12 cm y una altura de 13 cm.

Solución

Podemos dividir al diámetro por 2 para obtener el radio y tenemos:

• Radio, $r=6$
• Altura, $h=13$

Usando la fórmula del área superficial con los valores dados, tenemos:

$A_s=2\pi r(r+h)$

$A_s=2\pi (6)(6+13)$

$A_s=2\pi (6)(19)$

$A_s=716.3$

El área superficial es igual a 716.3 cm².

Taller: Realizar los siguientes ejercicios con procedimientos para encontrar la respuesta                                             correcta. 

Fecha de entrega:

702-703: miércoles 13 de agosto de 2025 en hora de clase.

Área y volumen de un cilindro – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando las diferentes fórmulas del área y del volumen de un cilindro. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

1. ¿Cuál es el área superficial de un cilindro que tiene un radio de 3 cm y una altura de 5 cm?

Escoge una respuesta

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 $A_s=86{cm}^2$

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 $A_s=150.8{cm}^2$

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 $A_s=165.8{cm}^2$

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 $A_s=186.8m^2$

2. Encuentra el volumen de un cilindro que tiene un radio de 4 m y una altura de 6 m.

Escoge una respuesta

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 $V=301.6m^3$

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 $V=345.6m^3$

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 $V=362.6m^3$

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 $V=368.6m^3$

3. Encuentra el área superficial de un cilindro que tiene un radio de 7 mm y una altura de 9 mm.

Escoge una respuesta

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 $A_s=624.6{mm}^2$

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 $A_s=656.7{mm}^2$

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 $A_s=792.8{mm}^2$

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 $A_s=703.7{mm}^2$

4. ¿Cuál es el volumen de un cilindro tiene un diámetro de 10 mm y una altura de 6 mm?

Escoge una respuesta

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 $V=465.6{mm}^3$

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 $V=471.2{mm}^3$

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 $V=476.5{mm}^3$

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 $V=521.3{mm}^3$

5. Calcula el área superficial de un cilindro que tiene un diámetro de 8 mm y una altura de 11 mm.

Escoge una respuesta

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 $A_s=312{mm}^2$

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 $A_s=377{mm}^2$

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 $A_s=543{mm}^2$

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 $A_s=955{mm}^2$

Resuelve los siguientes ejercicios

1.- Si el volumen de una esfera es 288π cm3, cuál es el área de su círculo máximo?

2.- Calcula el área de la esfera de diámetro 22 mm. 

3.- Si se quiere pintar el exterior de la cúpula de un telescopio, cuya forma es una semiesfera de 16,4 m de diámetro, cuál es el área que se debe pintar?

4.- Si el volumen de una esfera es 4500π mm3, cuál es el área de la semiesfera?

5.- Si la superficie de una esfera es 576π cm2, cuánto mide su diámetro?

6.- De forma aproximada podemos decir que una naranja es una esfera. Si Tomás se come 8 de los 10 gajos de una naranja de 8 cm de diámetro. ¿Cuál era el volumen de la cantidad de naranja consumida por Tomás?